Ce este produsul?

Da Responsabile Editorial

Ce este produsul? este o întrebare des întâlnită în matematică, iar răspunsul se referă la rezultatul înmulțirii sau la o expresie care identifică factorii ce trebuie înmulțiti. Această notă prezintă diferitele tipuri de produse din matematică și importanța lor în diversele ramuri ale acestei științe.

Pentru cei care nu au timp să citească în întregime, iată cele mai importante 5 puncte de reținut:

  • Un produs este rezultatul înmulțirii sau o expresie care identifică obiectele care trebuie înmulțite, numite factori.
  • Legea comutativă a înmulțirii afirmă că ordinea factorilor nu afectează produsul.
  • Există multe tipuri de produse în matematică, inclusiv produsul a doi numere, produsul unei secvențe, produsul unei matrice și produsul scalar sau vectorial.
  • Produsul a doi factori poate depinde de ordinea în care sunt înmulțiti, cum ar fi înmulțirea matriceală.
  • În teoria categoriilor, produsul este o noțiune generală care descrie modul de combinare a două obiecte pentru a crea un alt obiect.

În matematică, un produs este rezultatul înmulțirii sau o expresie care identifică obiectele (numere sau variabile) care trebuie înmulțite, numite factori. De exemplu, 21 este produsul dintre 3 și 7 (rezultatul înmulțirii), iar x ⋅ ( 2 + x ) este produsul dintre x și ( 2 + x ) (indicând faptul că cei doi factori trebuie înmulțiti împreună). Atunci când un factor este un număr întreg, produsul se numește multiplu.

Ordinea în care numerele reale sau numerele complexe sunt înmulțite nu afectează produsul; acest lucru este cunoscut sub numele de legea comutativă a înmulțirii. Atunci când se înmulțesc matrice sau elemente din diferite alte algebre asociative, produsul depinde în general de ordinea factorilor. De exemplu, înmulțirea matriceală nu este comutativă, la fel cum și înmulțirea în alte algebre în general.

Există multe tipuri diferite de produse în matematică: pe lângă faptul că puteți înmulți doar numere, polinoame sau matrice, puteți defini și produse pe multe alte structuri algebrice.

Produsul a doi numere :

Acest aspect este un extras din Multiplicare § Definiții Produsul a două numere sau înmulțirea între două numere poate fi definit pentru cazurile speciale comune: numere întregi, numere naturale, fracții, numere reale, numere complexe și cuaternioni.

Produsul unei secvențe :

Operatorul produsului pentru produsul unei secvențe este denumit prin litera grecească mare pi Π (în analogie cu utilizarea majusculei Sigma Σ ca simbol de sumă). De exemplu, expresia ∏ i = 1 6 i 2 este o altă modalitate de a scrie 1 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ 16 ⋅ 25 ⋅ 36.

Produsul unei secvențe care constă doar dintr-un singur număr este chiar acel număr în sine; produsul fără factori se numește produs vid și este egal cu 1.

Inele comutative :

Inelele comutative au o operație de produs.

Clasele reziduale ale numerelor întregi :

Se pot aduna clasele reziduale în inelele Z / N Z :

( a + N Z ) + ( b + N Z ) = a + b + N Z

și se pot înmulți:

( a + N Z ) ⋅ ( b + N Z ) = a ⋅ b + N Z

Convolutie :

Convolutia unui semnal dreptunghiular cu el însuși dă funcția triunghiulară

Două funcții de la reale la ele însele pot fi înmulțite într-un alt mod, numit convoluție.

Dacă

∫ − ∞ ∞ | f ( t ) | d t < ∞ and ∫ − ∞ ∞ | g ( t ) | d t 0 pentru orice 0 ≠ v ∈ V .

Din produsul scalar, se poate defini o normă prin a permite || v || := v ⋅ v .

Produsul scalar permite, de asemenea, definirea unui unghi între doi vectori:

cos ⁡ ∠ ( v , w ) = v ⋅ w || v || ⋅ || w ||

În spațiul euclidian n-dimensional, produsul scalar standard (numit produs scalar) este dat de:

( ∑ i = 1 n α i e i ) ⋅ ( ∑ i = 1 n β i e i ) = ∑ i = 1 n α i ⋅ β i

Produsul vectorial în spațiul tridimensional :

Produsul vectorial a doi vectori în 3 dimensiuni este un vector perpendicular pe cei doi factori, cu lungimea egală cu aria paralelogramului întins de cei doi factori.

Produsul vectorial poate fi de asemenea exprimat ca determinant formal:

u × v = | i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 |

Compoziția aplicațiilor liniare :

O aplicație liniară poate fi definită ca o funcție f între două spații vectoriale V și W cu un corp subiacent F, care satisface

f ( t 1 x 1 + t 2 x 2 ) = t 1 f ( x 1 ) + t 2 f ( x 2 ) , ∀ x 1 , x 2 ∈ V , ∀ t 1 , t 2 ∈ F .

Dacă se consideră numai spații vectoriale cu dimensiuni finite, atunci

f ( v ) = f ( v i b V i ) = v i f ( b V i ) = f i j v i b W j ,

unde b V și b W denotă bazele lui V și W, iar v i denotă componenta lui v pe b V i, folosind convenția sumei lui Einstein.

Luând în considerare compunerea a două aplicații liniare între spații vectoriale de dimensiunii finite. Fie aplicația liniară f care mapează V în W și g care mapează W în U. Atunci se poate obține

g ∘ f ( v ) = g ( f i j v i b W j ) = g j k f i j v i b U k .

Sau în forma matricială:

g ∘ f ( v ) = G F v ,

unde elementul de pe rândul i, coloana j al lui F, notat prin F_ij , este f_ji , iar G_ij =g_ji .

Compoziția a mai multor aplicații liniare poate fi reprezentată similar printr-o serie de înmulțiri matriciale.

Produsul a două matrice :

Dacă avem două matrice

A = ( a i , j ) i = 1 … s ; j = 1 … r ∈ R s × r B = ( b j , k ) j = 1 … r ; k = 1 … t ∈ R r × t

produsul lor este dat de

B ⋅ A = ( ∑ j = 1 r a i , j ⋅ b j , k ) i = 1 … s ; k = 1 … t ∈ R s × t

Produsul de compuneri al funcțiilor liniare :

Există o relație între compunerea funcțiilor liniare și produsul a două matrice. Pentru a observa acest aspect, fie r = dim(U), s = dim(V) și t = dim(W) să fie dimensiunile (finite) ale spațiilor vectoriale U, V și W. Fie U = { u 1 , … , u r } să fie o bază a lui U, V = { v 1 , … , v s } să fie o bază a lui V și W = { w 1 , … , w t } să fie o bază a lui W În termeni ai acestei baze, să A = M V U ( f ) ∈ R s × r să fie matricea care reprezintă f : U → V și B = M W V ( g ) ∈ R r × t să fie matricea care reprezintă g : V → W. Atunci

B ⋅ A = M W U ( g ∘ f ) ∈ R s × t

este matricea care reprezintă g ∘ f : U → W .

Cu alte cuvinte: produsul matriceal este descrierea în coordonate a compunerii funcțiilor liniare.

Produs tensorial al spațiilor vectoriale :
Dacă avem două spații vectoriale finite V și W, produsul tensorial al acestora poate fi definit ca un tensor (2, 0) care satisface:

V ⊗ W ( v , m ) = V ( v ) W ( w ) , ∀ v ∈ V ∗ , ∀ w ∈ W ∗ ,

unde V* și W* denotă spațiile duale ale lui V și W.

Pentru spațiile vectoriale de dimensiuni infinite, avem:

Produsul tensorial, produsul exterior și produsul Kronecker transmit toate aceeași idee generală. Diferențele dintre acestea sunt că produsul Kronecker este doar un produs tensorial al matricelor, în raport cu o bază predefinită, în timp ce produsul tensorial este de obicei dat în definiția sa intrinsecă. Produsul exterior este pur și simplu produsul Kronecker, limitat la vectori (în loc de matrice).

Clasa tuturor obiectelor cu un produs tensorial :

În general, ori de câte ori avem două obiecte matematice care pot fi combinate într-un mod care se comportă ca un produs tensorial algebric, atunci acest lucru poate fi înțeles cel mai general ca produs intern al unei categorii monoidale. Adică categoria monoidală surprinde cu precizie sensul unui produs tensorial; surprinde exact noțiunea de de ce tensorii se comportă așa cum o fac. Mai precis, o categorie monoidală este clasa tuturor lucrurilor (de un anumit tip) care au un produs tensorial.

Alte tipuri de produse în algebra liniară includ:

Produsul cartezian :

În teoria mulțimilor, produsul cartezian este o operație matematică care returnează o mulțime (sau o mulțime produs) formată din mai multe mulțimi. Adică, pentru mulțimile A și B, produsul cartezian A × B este mulțimea tuturor perechilor ordonate (a, b) – unde a ∈ A și b ∈ B.

Produs vid :

Produsul vid pe numere și majoritatea structurilor algebrice are valoarea de 1 (elementul de identitate al înmulțirii), la fel ca suma vidă are valoarea 0 (elementul de identitate al adunării). Cu toate acestea, conceptul de produs vid este mai general și necesită tratare specială în logica, teoria mulțimilor, programarea computerelor și teoria categoriilor.

Produse pentru alte structuri algebrice includ:

Produse în teoria categoriilor :

Toate exemplele anterioare sunt cazuri speciale sau exemple ale noțiunii generale de produs. Pentru tratarea generală a conceptului de produs, consultați produs (teoria categoriilor), care descrie modul de combinare a două obiecte ale unui anumit tip pentru a crea un obiect, eventual de un alt tip. Dar, de asemenea, în teoria categoriilor, avem:

Alte produse :
– Integrala produsului unei funcții (ca un echivalent continuu al produsului unei secvențe sau ca versiunea multiplicativă a integralei normale / standard / aditive. Integrala produsului mai este cunoscută și sub numele de „produs continuu” sau „multiplical”.
– Înmulțire complexă, o teorie a curbelor eliptice.

FAQ

Întrebări frecvente: Ce este produsul?

Ce noțiuni și concepte putem înțelege prin termenul „produs”?

Ce înseamnă produsul în matematică?

În matematică, un produs reprezintă rezultatul unei înmulțiri sau o expresie care identifică obiectele (numere sau variabile) care trebuie înmulțite, numite factori. De exemplu, 21 este produsul dintre 3 și 7 (rezultatul înmulțirii), iar x ⋅ (2 + x) este produsul dintre x și (2 + x) (indicând faptul că cei doi factori trebuie înmulțiti împreună). Atunci când unul dintre factori este un număr întreg, produsul se numește multiplu.

Ce ordine are impactul asupra produsului?

Ordinea în care numerele reale sau numerele complexe sunt înmulțite nu afectează produsul; acest lucru este cunoscut sub numele de legea comutativă a înmulțirii. Cu toate acestea, atunci când se înmulțesc matrice sau elemente din diferite alte algebre asociative, produsul poate depinde de ordinea factorilor. De exemplu, înmulțirea matriceală nu este comutativă, la fel cum și înmulțirea în alte algebre în general.

Ce alte tipuri de produse există în matematică?

Există multe tipuri diferite de produse în matematică. Pe lângă faptul că puteți înmulți numere, polinoame sau matrice, puteți defini și produse pe multe alte structuri algebrice. Unele exemple includ produsul unei secvențe, operatorul produsului într-o secvență (reprezentat de litera grecească mare pi Π), produsul în inele comutative, produsul în clasele reziduale ale numerelor întregi, convoluția unui semnal dreptunghiular cu el însuși, produsul de două polinoame, produsele în algebra liniară și multe altele. Fiecare tip de produs are propriile sale proprietăți și aplicații specifice.

Ce este un produs tensorial?

Produsul tensorial este o operație în algebră liniară care combină două spații vectoriale pentru a crea un nou spațiu vectorial. Acesta poate fi considerat ca o generalizare a produsului cartezian la nivel de structuri algebrice. Produsul tensorial poate fi utilizat pentru a defini alte operații și construcții în matematică, cum ar fi produsul exterior și produsul Kronecker. Este o concept important în teoria categoriilor și în multe alte domenii ale matematicii.

Care sunt alte tipuri de produse în algebra liniară?

În algebra liniară, pe lângă produsul scalar și produsul vectorial, există multe alte tipuri de produse. Acestea includ produsul matriceal, care combină două matrice pentru a obține o nouă matrice, produsul de compuneri al aplicațiilor liniare, care combina două funcții liniare pentru a obține o nouă funcție, și produsul tensorial, care combină două spații vectoriale pentru a obține un nou spațiu vectorial. Fiecare tip de produs are propriile sale reguli și proprietăți, care sunt studiate în detaliu în algebra liniară.

Acestea sunt doar câteva dintre noțiunile și conceptele legate de termenul „produs”. Matematica este un domeniu vast și complex, iar produsul este un concept fundamental care se regăsește în multe ramuri ale matematicii.

Impărți

Lasă un comentariu